특수 함수

3. 특수 함수의 계산

특수 함수의 대부분은 복소수 변수의 해석함수로 간주되며, 특이점과 분지절단이 설명되고, 미분표현 및 적분표현 공식이 알려져 있다. 또한 테일러 급수, 로랑 급수, 점근 급수 전개가 가능하다.^{[24][7][30][32]}

특수 함수를 계산하는 가장 간단한 방법은 테일러 급수로 전개하는 것이지만, 수렴 속도가 느리거나 아예 수렴하지 않는 경우도 있다.^[33] 알고리즘 중심의 언어에서는 파데 근사(유리 근사)를 이용하는 경우가 대표적이지만, 복소 인수가 사용된 경우에는 정확하지 못한 값으로 계산되는 경우가 많다.

어떤 구간 안에서 다항식의 값으로 함수값을 근사하는 경우에는 중단된 테일러 전개를 사용하는 것보다 최량 근사 이론에 기초한 근사식이나 중단된 체비쇼프 다항식 전개를 사용하는 것이 좋다. 또한 유리 함수 근사에 대해서도 최량 유리 근사식이 사용되는 경우가 있다.

MATLAB^[27], Maple^[28], Mathematica^[29] 등 과학 기술 계산 및 수치 해석을 위한 언어는 많은 특수 함수를 인식한다. 그러나 이러한 시스템이 항상 효율적인 알고리즘으로 계산하는 것은 아니다(특히 복소 평면의 경우).

4. 특수 함수의 예

대표적인 특수 함수는 다음과 같다.

• 감마 함수
• 불완전 감마 함수
• 구면 조화 함수
• 베타 함수
• 다중로그
• 데데킨트 에타 함수
• 디감마함수
• 디리클레 L-함수
• 라게르 다항식
• 람베르트 W 함수
• 로그 적분 함수
• 르장드르 다항식
• 리만 제타 함수
• 바이어슈트라스 타원함수
• 베셀 함수
• 야코비 타원함수
• 에르미트 다항식
• 에어리 함수
• 지수 적분 함수
• 체비쇼프 다항식
• 초기하함수
• 폴리감마 함수
• 타원 적분
• 후르비츠 제타 함수

5. 특수 함수표

특수 함수는 종종 미분 방정식이나 기본 함수의 적분의 해로 나타난다. 따라서 적분표^[1]는 일반적으로 특수 함수에 대한 설명을 포함하고, 특수 함수표^[2]는 가장 중요한 적분을 포함한다. 적어도 특수 함수의 적분 표현은 포함한다. 미분 방정식의 대칭성은 물리학과 수학 모두에 필수적이므로, 특수 함수 이론은 리 군 및 리 대수 이론뿐만 아니라 수리물리학의 특정 주제와 밀접하게 관련되어 있다.

기호 계산 엔진은 일반적으로 대부분의 특수 함수를 인식한다.

6. 특수 함수의 역사

18세기에는 삼각 함수와 지수 함수가 체계화되었지만, 특수 함수에 대한 완전하고 통합된 이론을 찾으려는 노력은 19세기 이후로 계속되었다. 19세기(1800~1900년) 특수 함수 이론의 절정은 타원 함수 이론이었다. 타너리와 몰크의 저서^[3]와 같이 본질적으로 완성된 논문들은 해석 함수 이론(복소 해석학 기반)의 기술을 사용하여 이론의 모든 기본적인 항등식을 설명했다. 세기 말에는 구면 조화 함수에 대한 매우 상세한 논의도 이루어졌다.

오랫동안 특수 함수는 응용 수학의 영역이었으며, 전자 계산기 이전에는 광범위한 수치표를 작성하여 참조 표로 사용하였다.

20세기에는 휘태커와 왓슨(1902) 교과서^[4]가 복소해석학을 사용하여 이론을 통일하고자 했다. G. N. 왓슨의 저서 ''베셀 함수 이론 논문''(A Treatise on the Theory of Bessel Functions)은 점근 결과를 포함하여 한 가지 중요한 유형에 대해 가능한 한 기법을 제시하였다. 배트만 원고 프로젝트(Bateman Manuscript Project)는 아서 얼데이의 편집하에 백과사전식을 지향했으며, 전자 계산이 부상하고 표 계산이 주요 문제가 되지 않던 시기에 나왔다.

직교 다항식의 현대 이론은 범위가 확실하지만 제한적이다. 페릭스 클라인이 천문학과 수리 물리학에서 중요하다고 언급한 초기하 급수는^[5] 복잡한 이론이 되었고, 나중에는 개념적 정리가 필요하게 되었다. 리 군 표현 이론은 대역 구면 함수의 직접적인 일반화를 제공하며, 1950년대 이후 고전 이론의 상당 부분이 리 군의 관점에서 재구성되었다. 또한 대수적 조합론에 대한 연구도 이론의 이전 부분에 대한 관심을 되살렸다. 이안 G. 맥도날드의 추측은 특수 함수적 성격을 가진 크고 활발한 새로운 분야를 열도록 도왔다. 차분 방정식은 미분 방정식과 함께 특수 함수의 원천으로 자리 잡기 시작했다.

6. 1. 고전 이론

6. 2. 변화하는 동기

• 수치 해석, 빠른 계산을 가능하게 하는 무한 급수 또는 기타 해석 표현의 발견
• 가능한 한 많은 함수를 주어진 함수로 축소.

6. 3. 20세기

6. 4. 현대 이론

7. 수론에서의 특수 함수

수론에서 특정 특수 함수는 전통적으로 연구되어 왔는데, 특히 특정 디리클레 급수와 모듈 형식 등이 있다. 몬스터 문샤인 이론에서 비롯된 것을 포함하여, 특수 함수 이론의 거의 모든 측면이 여기서 반영되며, 몇 가지 새로운 측면도 나타난다.

8. 행렬 인수를 갖는 특수 함수

양의 정부 행렬 공간에서 여러 특수 함수의 유사체들이 정의되었는데, 그 중에는 Atle Selberg에서 유래된 거듭제곱 함수, 다변량 감마 함수, 베셀 함수의 종류가 있다.^[1][2][3]

국립 표준 기술 연구소(NIST)의 디지털 수학 함수 라이브러리에는 행렬 인수의 여러 특수 함수를 다루는 섹션이 있다.^[6]

9. 특수 함수 연구자

• 미마치 카츠히사
• 볼프강 한
• 미잔 라만^[35]
• 왈리드 알살람
• 무라드 이스마일^[20][23][34]
• 조지 앤드류스^[36]
• 리처드 아스키^{[22][36][37][38]}
• 해럴드 엑스턴^[17][18][19]
• 루시 조안 슬레이터
• 프랭크 올버^[32]
• 에드먼드 테일러 휘태커
• 조지 네빌 왓슨

10. 특수 함수 관련 서적 (한국)

다음은 특수 함수 관련 서적 목록이다. (불완전)

• 이누이 테츠로, "특수 함수", 이와나미 쇼텐(1962년 7월 30일).
• 이시즈 타케히코, "특수 함수론", 아사쿠라 서점(응용 수학 역학 강좌 4) (1963년).
• 오쿠이 시게히코, "전자 통신 공학을 위한 특수 함수와 그 응용", 모리키타 출판, ISBN 4-627-07460-3 (1997년 7월 10일).
• 오노데라 요시타카, "물리를 위한 응용 수학", 쇼카보, ISBN 978-4-78532031-7 (1988년 3월 10일).
• 테라자와 칸이치, "자연 과학자를 위한 수학 개론"(증정판), 이와나미 쇼텐, ISBN 978-4-00-005480-5 (1983년 5월 18일).
• 모리구치, 우다카와, 이치마츠, "수학 공식 III 특수 함수", 이와나미 쇼텐.
• 카네코 나오타케, 마츠모토 미치오, "특수 함수", 바이후칸, ISBN 978-4-56300443-9 (1984년 5월).
• H. 홋시탓트, "특수 함수: 그 이·공학으로의 응용", 바이후칸 (1974년 6월).
• 야부시타 신, "특수 함수와 그 응용", 모리키타 출판, ISBN 978-4-627-00400-9 (1975년 12월 1일).
• 토다 모리카즈, "특수 함수", 아사쿠라 서점, ISBN 978-4-25411356-3 (1981년 12월).
• A.П. 프루드니코프, О.И. 마리체프, Ю.А. 브리치코프, "신 수학 공식집 II 특수 함수", 마루젠, ISBN 978-462103682-2 (1992년 3월).
• 코마츠 유사쿠, "특수 함수"(복간), 아사쿠라 서점 (근대 수학 강좌 5), ISBN 978-4-254-11655-7 (2004년 3월 15일). 초판은 1967년 9월 15일.
• 토키히로 테츠지, "공학에 있어서의 특수 함수", 쿄리츠 출판, ISBN 978-4-320-01612-5 (2006년 6월 25일).
• 요모기다 키요시, "연습 형식으로 배우는 특수 함수·적분 변환 입문", 쿄리츠 출판, ISBN 978-4-320-01829-7 (2007년 1월).
• 키무라 히로노부, "초기하 함수 입문: 특수 함수에 대한 통일적 시점에서의 접근", 사이언스사 (2007년 5월 25일).
• 이치마츠 신, "특수 함수 입문", 모리키타 출판, ISBN 978-4-62703829-5 (2008년 4월 30일).
• 조지. 브라운. 알프켄, 한스. J. 웨버, "기초 물리 수학 제4판 Vol.3 특수 함수", 코단샤, ISBN 978-4-06153979-2 (2001년).
• 후시미 야스지, 아카이 이츠, "복간 직교 함수계", 쿄리츠 출판, ISBN 978-4-320-03478-5 (2011년 6월 10일).
• 한다 테루오, "쓸 수 있는 특수 함수 입문", 일본 평론사, ISBN 978-4-535-78850-3 (2018년 9월).

참조

_[1] 서적 Table of Integrals, Series, and Products Academic Press, Inc. 2015
_[2] 서적 Handbook of Mathematical Functions https://archive.org/[...] U.S. Department of Commerce, National Bureau of Standards 1964
_[3] 서적 Éléments de la théorie des fonctions elliptiques http://worldcat.org/[...] Chelsea 1972
_[4] 서적 A Course of Modern Analysis http://dx.doi.org/10[...] Cambridge University Press 1996-09-13
_[5] 서적 Special Functions and the Theory of Group Representations null American Mathematical Society 1968
_[6] 웹사이트 Chapter 35 Functions of Matrix Argument https://dlmf.nist.go[...] null
_[7] 서적 工学における特殊関数 共立出版
_[8] 서적 A treatise on the theory of Bessel functions Cambridge university press 1995
_[9] 서적 ベッセル関数入門 日新出版 1963
_[10] 서적 リーマンのゼータ関数 朝倉書店 2005
_[11] 서적 ベルヌーイ数とゼータ関数 牧野書店 2001
_[12] 서적 楕円関数論: 楕円曲線の解析学 東京大学出版会 2000
_[13] 서적 楕円関数入門 日本評論社 2001
_[14] 서적 超幾何関数 朝倉書店 2002
_[15] 서적 超幾何関数入門——特殊関数への統一的視点からのアプローチ—— サイエンス社 2007
_[16] 서적 Theory of hypergeometric functions Springer 2011
_[17] 서적 Multiple hypergeometric functions and applications https://books.google[...] Ellis Horwood Ltd.
_[18] 서적 Handbook of hypergeometric integrals https://books.google[...] Ellis Horwood Ltd.
_[19] 서적 q-hypergeometric functions and applications https://books.google[...] Ellis Horwood Ltd.
_[20] 서적 Classical and Quantum Orthogonal Polynomials in One Variable http://www.cambridge[...] Cambridge University Press
_[21] 서적 直交多項式入門 数学書房 2013
_[22] 논문 The Askey-scheme of hypergeometric orthogonal polynomials and its $q$-analogue 1996
_[23] 서적 Encyclopedia of Special Functions: The Askey–Bateman Project, Encyclopedia of Special Functions: The Askey–Bateman Project, Volume 1: Univariate Orthogonal Polynomials Cambridge University Press 2020
_[24] 문서 例えばパンルヴェ方程式の厳密解はパンルヴェ超越関数 ([[:en:Painleve transcendent]]) という特殊関数になる。
_[25] 서적 Table of integrals, sums, series and products Academic press
_[26] 서적 Table of mathematical functions
_[27] 웹사이트 MATLABにある特殊関数の一覧 https://jp.mathworks[...]
_[28] 웹사이트 Mapleにある特殊関数の一覧 https://www.cybernet[...]
_[29] 웹사이트 Mathematicaにある特殊関数の一覧 http://reference.wol[...]
_[30] 서적 複素関数入門 岩波書店
_[31] 웹사이트 ロシアでの微積分の用語 https://researchmap.[...]
_[32] 서적 Asymptotics and special functions AK Peters/CRC Press 1997
_[33] 문서 収束が遅いときには[[:en:Series acceleration|収束加速法]]を使うことで収束が早くなる場合がある。
_[34] 논문 A review of multivariate orthogonal polynomials 2017
_[35] 서적 Basic Hypergeometric Series Cambridge University Press
_[36] 서적 Special functions Cambridge university press 1999
_[37] 간행물 Some basic hypergeometric orthogonal polynomials that generalize Jacobi polynomials 1985
_[38] 웹사이트 Askey-Bateman project https://staff.fnwi.u[...]
_[39] 서적 Table of Integrals, Series, and Products Academic press 2007
_[40] 서적 Handbook of Mathematical Functions 1964